Оборотный маятник. Измерение ускорения свободного падения
Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближённо изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При бόльших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его примение в часах.
Частным случаем физического маятника является математический маятник, вся масса которого практически сосредоточена в одной точке – в центре масс маятника С. Примером математического маятника может служить шарик, подвешенный на длинной нити. В случае математического маятника:
a=l, I=mt2,
где l – длина маятника и формула получает вид:
T=2π(l/g)½.
Из этого можно сделать вывод, что физический маятник колеблется также, как математический с длиной
l=I/mα, (1)
которая называется приведённой длиной физического маятника.
Мы доказали это утверждение только для малых колебаний маятников. Но оно справедливо и для колебаний с конечными амплитудами, когда колебания не изохронны. Требуется только, чтобы угловые амплитуды физического и математического маятников были одинаковы. Доказательство этого приводим ниже.
I. Отложим от точки подвеса А вдоль прямой АС отрезок АА´, длина которого равна приведённой длине физического маятника l (на рис. выше). Точка А´ называется центром качания. Центр качания можно определить как математическую точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений. По теореме Гюйгенса-Штейнера
I=Ic+ma2,
где Ic – момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С. Подставив это выражение в формулу (1), получим:
l=a+Ic/ma (2)
Отсюда следует:
1. l›a, т. е. точка подвеса А и центр качания А´ лежат по разные стороны от центра масс С;
2. всем точкам подвеса, одинаково удалённым от центра масс маятника, соответствует одна и та же приведённая длина l, а следовательно, один и тот же период колебаний Т.
Точка подвеса и центр качания являются взаимными или сопряжёнными точками в следующем смысле. Если маятник подвесить за центр качания А´, то его период не изменится и прежняя точка подвеса А сделается новым центром качания.
Это положение называется теоремой Гюйгенса. Для её доказательства обозначим а´ длину отрезка А´С и допустим, что маятник подвешен за точку А´. Тогда его приведённая длина:
l´=a´+Ic/ma´. (3)
Но a´=l-a, или в силу соотношения (2)
a´=Icma.
Подставив это значение в формулу (3), получим
l´=Ic/ma+a.
Таким образом, l´=l, т. е. приведённая длина, а с ней и период колебаний физического маятника остались без изменений. Это и доказывает теорему Гюйгенса.
II. Следующее доказательство теоремы Гюйгенса глубже раскрывает её содержание.
Перемещая точку подвеса маятника вдоль одной и той же прямой, проходящей через центр масс С, посмотрим, как будет меняться его период колебаний. Когда точка подвеса А бесконечно удалена от С, маятник ведёт себя как математический. Его период колебаний бесконечно велик. При приближении точки подвеса А к центру масс С период колебаний сначала убывает. Когда точка подвеса совместиться с С, маятник при любом отклонении будет в безразличном равновесии. Это значит, что его период колебаний становится бесконечно большим. Поэтому по мере приближения точки А к С убывание периода должно смениться возрастанием. Положению точки подвеса, где это происходит, соответствует минимальный период колебаний. Когда точка подвеса переходит через точку Сна другую сторону прямой АА´, период колебаний, перейдя через бесконечность, начинает уменьшаться. При этом двум положениям точки подвеса, находящимся по разные стороны от С на одинаковых расстояниях, соответствуют равные периоды колебаний.
Вместо периода колебаний можно пользоваться приведённой длиной маятника l, однозначно определяющей его период колебаний. При удалении точки подвеса в бесконечность или при приближении её к центру масс С приведённая длина l стремится к бесконечности и достигает минимума в каком-то промежуточном положении. Графически это представлено на рис. 2:
На оси абсцисс отложена величина а, на оси ординат – приведённая длина маятника l. Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси ординат. Одна ветвь соответствует случаю, когда точка подвеса расположена по одну, а вторая – по другую сторону от центра масс С. Аналитически кривая изображается уравнением (3), которое можно представить в виде:
a2-la+Ic/m=0 (4)
Фиксированному значению приведённой длины l0 соответствует на рис. Горизонтальная прямая l=l0. Точки пересечения её с кривой определяют положение точек подвеса физического маятника, при которых его приведённая длина равна заданному значению l0. Таких точек пересечения четыре. Две из них расположены по одну, две остальные – по другую сторону от центра масс С. Их положение легко найти из квадратного уравнения:
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8