Теория поля
2. ТЕОРИЯ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
2.1. Формулы Грина. Задачи Дирихле и Неймана. Использование формул Грина, фундаментальная формула Грина. Гармонические функции, их свойства. Краевые задачи Дирихле и Неймана. Функция Грина. Решение задачи Дирихле для сферы.
- Объясните назначение фундаментальной формулы Грина.
Данная формула носит название фундаментальной формулы Грина. Она позволяет вычислять значение функции 
, непрерывной вместе со своими производными, внутри области 
, если известны ее значения и значения 
на поверхности 
, а также значения 
во всех внутренних точках области. Использовать формулу на практике крайне сложно, т. к. требуются весьма подробные сведения об определяемой функции.
- Дайте определение гармонической функции.
- Функция 
называется гармонической, если она непрерывна вместе со своими производными первого и второго порядков внутри конечной области и в каждой точке области удовлетворяет уравнению Лапласа
- Сформулируйте теорему о среднем значении гармонической функции.
- Теорема о среднем (теорема Гаусса). Значение гармонической функции во всякой внутренней точке 
равно интегральному среднему ее значений, взятых по поверхности любой сферы радиуса 
с центром в т., лежащей целиком внутри области , т.е.
- Напишите общий вид функции Грина. Поясните, в чем состоит сложность ее определения.
Нахождение функции Грина в конкретных случаях представляет весьма сложную задачу, т.к. она зависит не только от формы поверхности, но и от положения полюса внутри нее.
- Напишите формулу, по которой решается внутренняя краевая задача Дирихле.
,
Это выражение дает решение уравнения Лапласа внутренней задачи Дирихле. Для этого решения должны быть заданы значения функции на поверхности и значения на ней нормальной производной функции Грина.
Даже в таком упрощенном виде формула сложна для применения, т. к. для каждой поверхности и для каждого положения точки 
необходимо находить аналитическое выражение функции Грина. Задача решена лишь для некоторых поверхностей.
2.2. Гравитационное и магнитное поля. Потенциал притяжения, три его вида. Свойства потенциала объемных масс и его производных. Потенциал магнитного диполя, намагниченного тела конечных размеров, однородно намагниченного шара. Формула Пуассона.
- Напишите, чему равен потенциал притяжения точечной массы.
Эта функция носит название потенциала притяжения точечной массы.
Если массы распределены в объеме непрерывно и имеют объемную плотность 
, то тело можно разбить на элементы 
, массы которых равны 
. Каждый такой элемент можно заменить действием материальной точки, расположенной внутри элемента и имеющей массу .
- Поясните, как определяется потенциал объемных масс, простого и двойного слоя.
- Нарисуйте график изменения потенциала объемных масс.
 |
На графике изменения 
изображенном на графике видно, что первая производная потенциала однородной сферы также является непрерывной и конечной функцией во всем пространстве. Однако на границе сферы имеет точку излома.
- Напишите, чему равен потенциал магнитного диполя.
Произведение 
носит название магнитного момента диполя.
Найдем производную 
Поэтому формулу (5.18) можно переписать в таком виде:
- Определите, чему равен потенциал однородного намагниченного тела конечных размеров.
- Как связаны с напряженностью магнитного поля вертикальная и горизонтальная составляющая поля?
Проекция напряженности магнитного поля на ось 
, т.е. 
, обозначается через 
и носит название вертикальной составляющей
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8