Рефераты по Физике

Теория поля

Страница 5

В координатной форме формула Стокса имеет вид

- В чем состоит существенное различие операторов Гамильтона и Лапласа? Заявление на визу шенген единая форма заявления на получение шенгенской визы.

- Основные характеристики полей -градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля - определяются при помощи дифференцирования скалярных функций или проекций векторов.

Для более компактной записи этих характеристик английский математик Гамильтон (1805-1865) ввел символический, т.е. не имеющий физического смысла, вектор (набла), называемый также оператором Гамильтона

1.3. Векторные операции в ортогональных криволинейных координатах. Общая характеристика ортогональных криволинейных координат. Выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через прямоугольные. Градиент, дивергенция, ротор в криволинейных координатах. Основные характеристики полей в цилиндрических и сферических координатах.

- Напишите выражение элементов длины, площади и объема в криволинейных координатах через координаты Ламе.

- Выразим элементы длин координатных линий, площади и объема в криволинейных координатах, используя прямоугольные.

Возьмем координатную линию, расположенную в прямоугольной системе координат. Радиус-вектор точки, расположенной на линии, имеет обычный вид

где ; ; . Обозначим элемент дуги координатной линии через . Поскольку , нахождение сведем к нахождению .

Известно, что

где

Отсюда находим

Аналогично

Коэффициенты , , называют коэффициентами Ламе или масштабными множителями криволинейной системы координат.

Зная значения элементов длин координатных линий, запишем выражения для элементов площадей

и элемента объема

- Напишите общие выражения градиента, дивергенции, ротора, лапласиана в криволинейных координатах.

- Выражение градиента скалярной функции в криволинейных координатах

Как видим, градиент в криволинейных координатах зависит не только от значения функции в точке, но и от значения масштабных коэффициентов данной системы координат и направления единичных орт осей.

Принцип определения дивергенции вектора через его проекции, примененный в случае прямоугольных координат, сохраним и теперь, т.е.

Выражение лапласиана в криволинейных координатах:

Ротор будем искать обычным образом:

Теперь запишем выражение вектора :

Выражение удобно записать через определитель

- Чему равны коэффициенты Ламе в цилиндрических и сферических координатах?

- Определим значения коэффициентов Ламе цилиндрических координат. Для этого запишем выражения для элементов длин координатных линий

С другой стороны, известно, что

Сопоставляя попарно эти равенства, приходим к выводу, что

- Связь сферических координат с прямоугольными определяется соотношениями

Элементы длин координатных линий найдем, сопоставляя попарно выражения из двух систем

Из этого имеем:

- Запишите выражения градиента, дивергенции, ротора, лапласиана в цилиндрических и сферических координатах.

Перейти на страницу:  1  2  3  4  5  6  7  8