Т. к. N — число примитивных ячеек кристалла в единице объема, то N = 1/v0, где v0 — объем примитивной ячейки ::: physicedu.ru

Фонон

Страница 8

Т. к. N — число примитивных ячеек кристалла в единице объема, то N = 1/v0, где v0 — объем примитивной ячейки.

Теплоемкость решетки при высоких температурах постоянна (закон Дюлонга и Пти):

CV = 3lNkB

(46)

При невысоких температурах все сложнее. Чтобы точно вычислить энергию решетки, т. е. сосчитать сумму (44), необходимо знать дисперсионные зависимости для всех ветвей колебаний. И даже при условии, что зависимости эти известны, аналитическое выражение для энергии получить практически невозможно.

Поэтому для нахождения энергии и теплоемкости решетки применяют различные приближения.

Модель Эйнштейна

В модели Эйнштейна предполагается, что частоты всех фононов одинаковы, ωjk = ω1. Тогда для энергии получаем:

$E_{Э}=3nN\frac{\hbar\omega_1}{\exp\left(\frac{\hbar\omega_1}{k_BT}\right)-1}$

(47)

При высоких температурах, kBT>>ħω1, эта зависимость приводит к выражению (45) для энергии и закону Дюлонга и Пти (46) для теплоемкости.

При низких температурах, kBT<<ħω1, энергия колебаний и теплоемкость экспоненциально уменьшаются:

$E_{Э}=3lN\hbar\omega_1\exp\left(-\frac{\hbar\omega_1}{k_BT}\right)$

(48)

$C_V=3lN\frac{\hbar^2\omega_1^2}{k_BT^2}\exp\left(-\frac{\hbar\omega_1}{k_BT}\right)= \frac{\hbar^2\omega_1^2}{k_BT}E_{Э}$

(49)

Модель Эйнштейна хорошо описывает вклад в энергию и теплоемкость оптических ветвей фононов, у которых частота слабо зависит от волнового вектора и ее можно считать постоянной. Чтобы учесть только оптические ветви, частоту которых мы полагаем равной ω1, нужно вместо 3l писать число этих ветвей. В общем случае, частоты разных оптических ветвей могут сильно отличаться друг от друга и их вклад в энергию и теплоемкость нужно учитывать отдельно.

Модель Дебая

Опыт показывает, что теплоемкость действительно падает с уменьшением температуры, но не экспоненциально, а пропорционально T3. Дело в том, что при любых, сколь угодно низких температурах в кристалле найдутся колебания, энергия фонона которых меньше kBT. Это — длинноволновые акустические колебания. Именно такие колебания, точнее те из них, частота которых меньше kBT/ħ, вносят основной вклад в энергию при низких температурах. Колебания с б\'ольшими частотами (оптические и более коротковолновые акустические) ''заморожены'': фононов этих колебаний экспоненциально мало.

Сделаем простую оценку. Вклад в энергию вносят фононы, энергия которых меньше kT. Пусть скорость звука j-й акустической ветви равна sj и не зависит от направления волнового вектора: ω = sj|k|. Тогда вклад в энергию дают колебания с волновыми векторами, меньшими kmax = kBT/(ħ sj). Плотность разрешенных значений волновых векторов в k-пространстве кристалла равна V/(2π)3, поэтому внутри сферы радиуса kmax содержится

$\frac{4\pi}{3}k_{max}^3\cdot \frac{V}{(2\pi)^3}=V\frac{k_{max}^3}{2\pi^2}$

разрешенных значений волновых векторов. Это число колебаний одной акустической ветви, вносящих существенный вклад в энергию. На каждое такое колебание приходится энергия порядка kBT. Для энергии колебаний одной акустической ветви получаем:

$E_j \sim k_BT \frac{k_{max}^3}{2\pi^2} = \frac{(k_BT)^4}{2\pi^2(\hbar s_j)^3}$

(50)

Т. к. мы вычисляем энергию и теплоемкость единицы объема кристалла, то в (50) мы положили V = 1.

Таким образом, вклад одной акустической ветви в теплоемкость пропорционален T3:

$C_{Vj}=\frac{dE}{dT} \sim \frac{2k_B^4T^3}{\pi^2(\hbar s_j)^3}$

(51)

Чтобы получить полную энергию и теплоемкость, надо сложить вклады от трех акустических ветвей:

$C_V\approx\frac{2k_B^4T^3}{\pi^2\hbar^3}\sum_j\frac{1}{s_j^3},$

(52)

где через sj обозначена скорости звука j-й акустической ветви.

Мы сделали достаточно грубую оценку, поэтому к численным коэффициентам в последних двух выражениях не стоит относиться серьезно. Тем не менее, эта оценка дает правильную зависимость энергии и теплоемкости от температуры и скорости звука.

Посчитаем теперь энергию решетки при низких температурах более аккуратно.

Формула (44) имеет вид суммы по различным колебаниям (различным состояниям фононов) определенной величины, которая зависит только от энергии фонона:

$\sum_{j,\vec{k}}f\left({\cal E}_j(\vec{k})\right), f(\cal E)=\frac{\cal E}{\exp\left(\frac{\cal E}{k_BT}\right)-1}$

(53)

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Фонон

Разделы