Рефераты по Физике

Физическое описание явления фильтрации жидкости

Страница 14

(93)

где r - расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть в бесконечный пласт, ограниченный снизу непроницаемой горизонтальной поверхностью - водоупором, через скважину, радиус которой пренебрежимо мал, начинается закачка жидкости. Предположим, что начальный напор жидкости в пласте равен нулю, так что начальное условие на бесконечности имеют вид:

h(r, t0) = 0; h(¥, t) = 0. (94)

Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степенному закону. Выражение для полного расхода жидкости, закачиваемой через скважину радиусом R, имеет вид:

(95)

По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже мы остановимся на причинах, по которым это допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять R = 0; так как расход жидкости, закачиваемой в скважину, меняется по степенному закону, граничное, условие на скважине принимает вид:

(96)

где t > 0 и b > -1. В частности, случай b = 0 соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом. Таким образом, решение задачи удовлетворяет уравнению (93) и условиям (94) и (96). По-прежнему, используя p- теорему анализа размерности, можно показать, что это решение является автомодельным и представляется в виде:

(97)

Здесь

(98)

представляют собой две независимые безразмерные комбинации определяющих параметров решения; других независимых комбинаций этих параметров не существует. Постоянный множитель снова введен в формулу для x с целью удобства последующего изложения. Как и прежде, искомая функция должна быть непрерывной и иметь непрерывную производную от квадрата. Подставляя выражение (77) в уравнение (93) и условия (94) и (96), находим, что функция f1 (x, l) удовлетворяет уравнению

(99)

при условиях

(100)

Исследование этой граничной задачи проводится аналогично предыдущему; также единственным образом строится функция f1 (x, l), отличающаяся от нуля лишь при 0 £ x £ x1(l), где x1 (l) - некоторая функция x, а при x ³ x1 (l) тождественно равная нулю. Функция f1 (x, l) при x®0 имеет особенность, как нетрудно видеть из первого условия (100):

(101)

Второе условие (100) может быть приведено к другой форме: умножая уравнение (99) на x и интегрируя в пределах от x = 0 до x = ¥, получаем, используя оба условия (100) и условия

(102)

следующее интегральное соотношение:

(103)

Первое условие (102) непосредственно следует из условия, которому функция f1 (x, l) на бесконечности, так как если бы предел == при x ® ¥ не был равен нулю, то функция f1 (x, l) не стремилась бы к нулю при x ® ¥. Второе условие (102) непосредственно следует из (101).

Эффективное вычисление функции f1 (x, l) удобно проводить следующим образом. Строим решение задачи Коши Ф1(x, l) для уравнения (99). обращающееся в нуль при x = 1 и имеющее в этой точке конечную первую производную. Исследование, в точности аналогичное приведенному в п. 3 x1, показывает, что эта производная равна -1/4. Строить решение задачи Коши удобно так: вблизи x = 1 можно представить решение в виде ряда, при помощи которого находится надлежащее число начальных значений, после чего применяется метод численного интегрирования Адамса - Штермера. Далее численно вычисляется величина

Перейти на страницу:  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15