Упругие волны
Сопоставив эту сумму с производной по времени и заменив k2/ω2 через 1/υ2 (см. (2.7)), получим уравнение
Это и есть волновое уравнение. Его можно записать в виде
|
где Δ – оператор Лапласа.
Легко убедиться в том, что волновому уравнению удовлетворяет не только функция (3.6), но и любая функция вида
|
Действительно, обозначив выражение, стоящее в скобках в правой части (4.4), через ς, имеем
Аналогично
 |  |  | |||
Подстановка выражений (4.5) и (4.6) в уравнение (4.2) приводит к выводу, что функция (4.4) удовлетворяет волновому уравнению, если положить υ=ω/k.
Всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (4.2), описывает некоторую волну, причем корень квадратный из величины, обратной коэффициенту при , дает фазовую скорость этой волны.
Отметим, что для плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, волновое уравнение имеет вид
|
§ 5. Скорость упругих волн в твердой среде
Пусть в направлении оси х распространяется продольная плоская волна. Выделим в среде цилиндрический объем с площадью основания S и высотой Δx (рис. 5.1). Смещения ξ частиц с разными х в каждый момент времени оказываются различными (см. рис. 1.3, на котором изображено ξ в функции от x). Если основание цилиндра с координатой х имеет в некоторый момент времени смещение ξ, то смещение основания с координатой x+Δx будет ξ+Δξ. Поэтому рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение (алгебраическая величина, соответствует сжатию цилиндра) или относительное удлинение. Величина дает среднюю деформацию цилиндра. Вследствие того, что ξ меняется с изменением х не по линейному закону, истинная деформация в разных сечениях цилиндра будет неодинаковой. Чтобы получить деформацию ε в сечении х, нужно устремить Δx к нулю. Таким образом,
(символ частной производной взят потому, что зависит не только от x, но и от t).
Наличие деформации растяжения свидетельствует о существовании нормального напряжения σ, при малых деформациях пропорционального величине деформации. Согласно формуле (14.6) 1-го тома
(E – модуль Юнга среды). Отметим, что относительная деформация , а следовательно, и напряжение σ в фиксированный момент времени зависят от х (рис. 5.2). Там, где отклонения частиц от положения равновесия максимальны, деформация и напряжение равны нулю. В местах, где частицы проходят через положение равновесия, деформация и напряжение достигают максимального значения, причем положительные и отрицательные деформации (т. е. растяжения и, сжатия) чередуются друг с другом. В соответствии с этим, как уже отмечалось в §1. продольная волна состоит из чередующихся разрежений и сгущений среды.
Обратимся снова к цилиндрическому объему, изображенному на рис. 5.1, и напишем для него уравнение движения. Полагая Δx очень малым, проекцию ускорения на ось x можно считать для всех точек цилиндра одинаковой и равной . Масса цилиндра равна ρSΔx, где ρ – плотность недеформированной среды. Проекция на ось x силы, действующей на цилиндр, равна произведению площади основания цилиндра S на разность нормальных напряжений в сечениях (x+Δx+ξ+Δξ) и (x+ξ):
 |
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10