Упругие волны
Страница 2
λ =υT,
где υ — скорость волны, T — период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2p (см. рис. 1.3).
Заменив в соотношении (1.1)
T через
1/v (
v — частота колебаний), получим
λv = υ.
К этой формуле можно прийти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает v колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать v-e колебание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, v «гребней» и «впадин» волны должны уложиться на длине υ.
§ 2. Уравнения плоской и сферической волн
Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат х, у, z и времени t:
x= x(х, у,
z,t)
(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической как относительно времени t, так и относительно координат х, y, z. Периодичность по времени вытекает из того, что x описывает колебания частицы с координатами х, у, z. Периодичность по координатам следует из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстояние λ, колеблются одинаковым образом.
Найдем вид функции x, в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось х совпала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси х и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение x будет зависеть только от х и t: x= x(х, t). Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х = 0 (рис. 2.1), имеют вид
x (х, t) = a cos (wt +a).
Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Для того чтобы пройти путь от плоскости х = 0 до этой плоскости, волне требуется время t= x/υ (υ – скорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на t от колебаний частиц в плоскости х= 0, т. е. будут иметь вид
x (х, t) = a cos [ w ( t − t ) +a ] = a cos [ w ( t − x/υ ) +a ].
Итак, уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х, выглядит следующим образом:
x = a cos [ w ( t − x/
υ ) +a ]
Величина a представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны a определяется выбором начал отсчета х и t. При рассмотрении одной волны начала отсчета времени и координаты обычно выбираются так, чтобы a была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись пулю, как правило, не удается.
Зафиксируем какое-либо значение фазы, стоящей в уравнении (2.2), положив
w ( t − x/υ ) +a = const
Это выражение определяет связь между временем
t и тем местом
х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение
dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (2.3), получим
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
