Методы расчета электрических полей (конспект лекций)
.
Можно также показать, что в этом случае потенциал на самой поверхности 
и внутри неё будет постоянным, а также будет равна нулю тангенциальная составляющая напряженности электрического поля на поверхности . Отсюда вытекает, что будет эквипотенциальной поверхностью, а поле будет совпадать с полем проводника такой же формы. Следовательно, с помощью простых слоёв зарядов можно создавать поля, идентичные полям реальных проводников.
3.3.2. Расчет электростатического поля проводников методом интегральных уравнений.
Рассмотрим некоторое тело, ограниченное поверхностью , к которому приложен потенциал 
(рис. 3.4). Задача состоит в том, чтобы определить такое распределение поверхностной плотности заряда 
на поверхности , которое обеспечило бы равенство потенциала на ней значению .
Рис. 3.4. К расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Пусть точки A и B – произвольные точки поверхности , тогда для точки B согласно принципу суперпозиции имеем
, (3.10)
где 
– расстояние между точками A и B.
Уравнение (3.10) представляет собой интегральное уравнение Фредгольма I рода относительно неизвестной функции 
. В результате его решения определяется распределение поверхностной плотности заряда по поверхности . Если оно известно, то любые параметры электрического поля определяются по принципу суперпозиции. Так значения потенциала 
и проекций 
вектора напряженности электрического поля 
на координатные оси в произвольной точке M, лежащей вне поверхности определяются как
(3.11)
где 
– косинусы углов между вектором 
и направляющими углами координатных осей.
3.3.3. Численная реализация метода интегральных уравнений.
Простейшим вариантом численного решения уравнения (3.10) является следующий метод. Нанесём на поверхность (рис. 3.5) некоторую сетку и в каждой её ячейке выберем расчётную точку (на рис. 3.5 расчетные точки обозначены квадратиками). Примем, что внутри каждой ячейки поверхностная плотность заряда постоянна. Тогда уравнение (3.10) можно переписать в следующем виде:
. (3.12)
Рис. 3.5. К численному расчету электростатического поля методом интегральных уравнений.
Замена интеграла по поверхности в уравнении (3.10) на сумму интегралов по элементам поверхности 
в (3.12) приводит к замене интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений с неизвестными 
. В (3.12) через n обозначено число ячеек сетки на поверхности . Коэффициенты 
системы уравнений (3.12) определяются выражением
. (3.13)
При 
и подынтегральное выражение в (3.13) конечно. Если 
, то выражение 
имеет особенность Однако это выражение является интегрируемым. Выделим вблизи расчетной точки 
диск малого радиуса 
. Тогда, учитывая, что в данном случае 
, соответствующий интеграл по этому диску записывается в виде
.
Таким образом, определяемые выражением (3.13) коэффициенты конечны как при , так и при .
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5