Методы расчета электрических полей (конспект лекций)
(3.5)
3.2.2. Расчет электростатического поля при наличии границы раздела между двумя диэлектриками.
Расчет электростатического поля в областях с двумя и более диэлектриками усложняет применение метода эквивалентных зарядов. Особенностью данного расчета является необходимость учитывать не только поверхностный заряд проводников, но и заряд, наведенный на границах раздела диэлектриков.
Рассмотрим порядок применения МЭЗ в такой ситуации на примере системы с двумя границами раздела “металл–диэлектрик” и одной границей раздела “диэлектрик–диэлектрик” (рис. 3.3).
Рис. 3.3. К расчету электростатического поля в системе, включающей границу раздела между двумя диэлектриками, методом эквивалентных зарядов.
В данном случае наряду с эквивалентными зарядами 
, расположенными внутри электрода, в расчете участвуют заряды, размещаемые по обе стороны границы раздела диэлектриков. В среде с диэлектрической проницаемостью 
располагаются заряды 
, а в среде с диэлектрической проницаемостью 
— заряды 
. Так как во всей рассматриваемой области должно выполняться уравнение Лапласа, при расчете параметров поля в среде с диэлектрической проницаемостью (или ) заряды, расположенные в данной среде, не учитываются.
Система уравнений (3.3) составляется в данном случае следующим образом.
Для контурных точек, лежащих на поверхности проводника в среде с диэлектрической проницаемостью (
), должны выполняться равенства
, (3.6)
а для контурных точек, лежащих на поверхности проводника в среде (
), должны выполняться равенства
. (3.7)
Выражения (3.6) и (3.7) представляют собой требование эквипотенциальности поверхности проводника.
Для контурных точек на границе раздела двух диэлектриков (
) требуется выполнение двух условий:
, (3.8)
, (3.9)
где 
; 
– коэффициент пропорциональности между j-м эквивалентным зарядом и нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля в i-ой контурной точке; 
- вектор нормали к границе раздела диэлектриков в i-ой контурной точке.
Выражение (3.8) отражает требование неразрывности потенциала на границе раздела двух сред, вытекающее из граничного условия (1.5). Выражение (3.9) отражает требование неразрывности нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4), которое в соответствии с уравнением (1.2) приводит к скачку нормальной составляющей вектора напряженности электрического поля:
.
Решив систему уравнений (3.3), сформированную из уравнений (3.6)¸(3.9), относительно значений эквивалентных зарядов 
, затем, используя принцип суперпозиции, можно рассчитать поле как внутри, так и на поверхности диэлектрика. Особенностью расчета является то, что для вычисления поля в одной из диэлектрических сред источниками поля являются заряды, находящиеся в проводнике и в другом диэлектрике. Заряды внутри исследуемой области не учитываются.
3.3. Метод интегральных уравнений
3.3.1. Свойства простого слоя заряда.
Как было сказано выше, идея метода интегральных уравнений заключается в замещении реальных распределений заряда по поверхности тел полеобразующей системы простыми слоями зарядов, распределенных по поверхности тел. Значения поверхностной плотности заряда определяются из условия эквипотенциальности поверхностей проводников (1.10) , а также из условий неразрывности тангенциальной составляющей вектора напряженности электрического поля (1.3) и нормальной составляющей вектора электрического смещения (1.4) на границах раздела диэлектриков.
Простой слой заряда обладает следующими основными свойствами.
Во-первых, потенциал простого слоя заряда является непрерывной и ограниченной функцией координат во всём пространстве, включая точки поверхности, на которой расположен этот слой. Отсюда непосредственно вытекает равенство тангенциальных составляющих напряженности электрического поля по обе стороны поля.
Во-вторых, в соответствии с (1.4) нормальная составляющая напряженности электрического поля при переходе через простой слой зарядов испытывает скачёк равный
,
где 
и 
– значения нормальной составляющей электрического поля по обе стороны слоя, 
– поверхностная плотность заряда в рассматриваемой точке слоя.
Отсюда следует, что если внутри замкнутой поверхности 
, покрытой простым слоем зарядов, нормальная к поверхности составляющая напряженности электрического поля равна нулю, то по внешней поверхности
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5