Лазеры на свободных электронах
Подставив в (11) значения компонент скорости 
и 
из (10), легко найти, что
|
|
(12) |
Сумма квадратов поперечных составляющих суммарного векторного потенциала А' равна
|
|
(13) |
Подставляя это выражение в (11) и учитывая, что при нерелятивистском движении в сопутствующей системе координат 
, получаем уравнение для продольной координаты электрона 
в этой системе:
|
|
(14) |
Аргумент синуса определяет фазу движения электрона в полях ондулятора и распространяющейся в нем волны:
|
|
(15) |
Связь фазы j с продольной координатой движения электрона г и временем t в лабораторной системе отсчета может быть получена с помощью обратного преобразования Лоренца:
|
|
(16) |
В окрестности резонанса, т.е. при 
, имеем
|
|
(17) |
Переходя в лабораторную систему отсчета и подставляя в (17) значения 
и
, получаем уравнение
|
|
(18) |
Таким образом, уравнение движения электрона в ондуляторе сводится к уравнению классического математического маятника для фазы этого движения. Это свидетельствует о наличии глубокой аналогии между лазером на свободных электронах и электронными приборами СВЧ, которые в приближении заданного поля также описываются подобными уравнениями.
Дальнейший анализ требует задания начальных условий. В момент входа электрона в ондулятор фаза имеет некоторое, вообще говоря, произвольное значение j0. Второе начальное условие легко получить дифференцированием выражения (16), служащего определением фазы. В результате при t= 0 имеем
|
j = j0
|
(19) |
Заметим, что начальная скорость изменения фазы пропорциональна отстройке частоты излучения от резoнансного значения.
Уравнение (18) с начальными условиями (19) полностью определяет движение электрона 0в полях волны и ондулятора и позволяет определить основные характеристики лазера.
Найдем энергию, излучаемую электроном в ондуляторе за один проход. Энергия, излучаемая в единицу времени, определяется как взятая с обратным знаком работа, совершаемая полем волны над электроном:
|
|
(20) |
где по определению 
. Это уравнение позволяет установить простую связь между излучаемой энергией F и фазой j .
Действительно, с учетом (9) поперечная скорость электрона в лабораторной системе координат равна
|
|
(21) |
Подставляя (6) в (21), а (21) в (20), после простых преобразований получаем
|
|
(22) |
Но sinj связан с d2j/dt2 уравнением маятника (18), что и дает искомую связь в достаточно простой форме:
|
|
(23) |
Здесь W =gm0c2 – полная энергия релятивистского электрона.
Интегрирование этого уравнения с учетом начальных условий (19) для dj/dt и при естественном предположении, что F(0)=0, дает
|
|
(24) |
Воспользуемся далее хорошо известным первым интегралом уравнения движения маятника, который выражает закон сохранения энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий маятника в произвольный момент времени равна их cумме в начальный момент времени t=0. В наших обозначениях с учетом начальных условий (19) это означает, что
|
|
(25) |
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11