Энтропия. Теория информации
ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ТЕОРИИ ЭНТРОПИИ
1а. Функция энтропии была введена в термодинамику Р.Клаузиусом, предложившим исчислять превращение энтропии по формуле:
|
D S = |
DQ |
(1.1) |
| T |
где S - энтропия ;
Q - количество тепла ;
Т - абсолютная температура .
При передаче тепла D Q от более разогретого тела с температурой Т1 к менее разогретому телу с температурой Т2 превращение
энтропии D S равно:
|
D S = |
- DQ |
+ |
+DQ |
(1.2) |
| T1 | T2 |
Из формулы (1.2) с учетом условия T1 > T2 следует вывод :
|
D S > 0 |
(1.3) | |
Поскольку во всех физических процессах тепло перетекает самопроизвольно от более разогретых к менее разогретым телам, условие (1.3) приобретает силу физического закона, получившего название Второго начала термодинамики.
Пока существует разность температур T1 – T2, часть теплового потока может быть преобразована в полезную (антиэнтропийную) энергию либо в естественно протекающих процессах (например, биологических), либо с помощью тепловых машин.
При условии T1 = T2 энергия полностью утрачивает свои антиэнтропийные свойства. Этот вывод был положен в основу теории тепловой смерти Вселенной.
Заметим, что сам термин «энтропия» был введен Клаузиусом, образовавшим его от корня греческого слова «тропе», означающего «превращение» с добавлением заимствованной из слова «энергия» приставки «эн-».
1б. Предложенная Клаузиусом формула энтропии (1.1) не раскрывала внутренних механизмов процессов, приводящих к возрастанию энтропии.Эта задача была решена Л.Больцманом, предложившим исчислять энтропию идеального газа по формуле :
|
S = K H |
(1.4) | |
где K= 1,38 · 10 -16 эрг/градус – коэффициент Больцмана
Н - математическая энтропия.
Согласно Больцману, величина H определяется так :
|
H = ln |
N ! |
(1.5) |
| N1 ! N2 ! … Nk ! |
где N - общее число молекул газа, находящегося в рассматриваемом объеме.
Ni - число молекул, движущихся со скоростями, соответствующими i-ой ячейке условного пространства скоростей.
При этом 1= 1,2, . К ( 1.6)
Условие (1.6) означает, что все N молекул распределены по соответствующим ячейкам пространства скоростей, в количествах N1, N2, … Nk,, учитываемых уравнением (1.5)
Согласно (1.5) перестановка молекул, находящихся внутри каждой из ячеек, не влияет на величину Н . Отсюда следует, что подсчитанная по формуле (1.5) величина Р соответствует числу возможных микросостояний системы (в частности газа), при котором макросостояние системы остается неизменным.
1в. М.Планк преобразовал формулу Больцмана (1.5), использовав для этого математическую формулу Стирлинга, справедливую для больших значений N :
|
ln(N !) = Nln N – N |
(1.7) |
В результате подстановки (1.7) в (1.5) получается соотношение :
|
H = Nln N – N –(S Ni ln Ni – S Ni) | ||||
|
i |
i | |||
С учетом условия S Ni = N, выражение для Н приводится к виду:
|
H = Nln N –S Ni ln Ni |
(1.8) | ||
|
i | |||
Далее Планк ввел в рассмотрение вероятности различных состояний молекул, определив их как :
|
pi = |
Ni |
(1.9) |
|
N |
При этом второе слагаемое в правой части (1.8) можно представить как:
|
S Ni ln Ni =S pi N ( ln pi + ln N ) = N S pi ln pi + N ln N Si pi |
(1.10) | |||||||
|
i |
i |
i |
i | |||||
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14