Рефераты по Физике

Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия

Страница 6

, , (27)

Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению Самая подробная информация Квартирный переезд в Колпино на нашем сайте.

(28)

причём = -, -. В однородном диэлектрике =const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа =0.

Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:

при r=R (29)

Здесь – решение уравнения вне сферы, а – внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала

=* (30)

Это условие можно получить, рассматривая интеграл по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением , находим

Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что

где элемент *направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора *также непрерывны.

Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля .

Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал *должен удовлетворять условию

при .

Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра :

,

*.

Здесь потенциал нормирован так, чтобы *при . Так как , то из условия на бесконечности находим .

Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):

Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем

=0 при (l=0),

при (l=1),

при (l>1).

Из этих уравнений находим

, .

Все остальные коэффициенты равны нуля, если .

Таким образом, решение задачи имеет вид:

(30)

Используя формулу , вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы

С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:

(31)

(32)

где - объём сферы.

Перейти на страницу:  1  2  3  4  5  6  7  8