Система уравнений Максвелла в сплошной среде. Граничные условия
, 
, 
(27)
Из этих уравнений следует, сто потенциал электростатического поля удовлетворяет уравнению
(28)
причём 
= -
, 
-
. В однородном диэлектрике 
=const , поэтому уравнение (27) переходит в обычное уравнение Лапласа 
=0.
Граничное условия (24), выражающее непрерывность вектора индукции, записывается следующим образом:
при r=R (29)
Здесь 
– решение уравнения вне сферы, а 
– внутри сферы. Вместо граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих электрического поля можно использовать эквивалентное ему условие непрерывности потенциала
= (30)
Это условие можно получить, рассматривая интеграл 
по контуру, изображенному на рис. 2. Воспользовавшись теоремой Стокса и уравнением 
, находим
Так как интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то это значит, что функция 
непрерывна, откуда и следует условие (30). Из (30) очевидно так же, что
где элемент 
направлен касательно к границе раздела. Из этого равенства следует, что тангенциальные компоненты вектора также непрерывны.
Для решения поставленной задачи используем сферическую систему координат, полярная ось которой (ось z) совпадает с направлением напряжённости однородного внешнего электрического поля 
.
Поскольку на достаточно большом удалении от диэлектрического шара электрическое поле не искажается наличием этого шара, то потенциал 
должен удовлетворять условию
при 
.
Из соображений симметрии ясно, что потенциал не должен зависеть от азимутального угла, поэтому решение уравнения Лапласа запишем в виде разложения по полиномам Лежандра 
:
,
.
Здесь потенциал нормирован так, чтобы 
при 
. Так как 
, то из условия на бесконечности находим 
.
Воспользуемся теперь граничными условиями (29) и (30):
Приравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах Лежандра, получаем
=0 при (l=0),
при (l=1),
при (l>1).
Из этих уравнений находим
, 
.
Все остальные коэффициенты равны нуля, если 
.
Таким образом, решение задачи имеет вид:
(30)
Используя формулу 
, вычислим вектор поляризации диэлектрической сферы
С помощью вектора поляризации формулы (30) можно записать в виде:
(31)
(32)
где 
- объём сферы.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8