Тунельные и барьерные эффекты
(4. 27)
Подставляя сюда ψ (r, t) и ψ* (г, 0) из (4.26) и пользуясь ортогональностью функций ψе (r), найдем
(4.28)
Величина Р (t) = | a (t) |2 дает, очевидно, закон распада состояния ψ{г, 0). Как видно, форма этого закона определяется распределением энергии ω (Е) dE в начальном состоянии.
Вернемся теперь к нашей задаче. Выберем ψ (г, 0) так, чтобы ψ (г, 0) = ψ (г) внутри барьера и ψ (г, 0) = 0 вне его. Подставляя теперь ψ (г, t) из (4.25) в (4.27), мы можем игнорировать возрастание ψ 0 (г) вне барьера, так как там ψ (r, 0) = 0. В силу совпадения ψ (r, 0) и ψ (r) внутри барьера и считая, что ψ (г, 0) нормировано к 1, получим
(4.29)
На основании (4.28), теперь нетрудно убедиться, что w {E) dE должно быть равно
(4.30)
т. е. мы получаем дисперсионную формулу для распределения энергии. Величину 
называют шириной квазистационарного уровня E0. Если через τ = 1/λ обозначить среднюю продолжительность жизни частицы в состоянии ψ (г, 0) = ψ0 (г), то мы получаем
(4.31)
— соотношение между шириной квазистационарного уровня и длительностью жизни частицы на этом уровне.
§ 5. Теория радиоактивного α – распада
Известно, что многие радиоактивные элементы распадаются, испуская α - частицы. По вылете из атомного ядра α - частица, имея двукратный положительный заряд (+2е), ускоряется в кулоновском поле атомного ядра, заряд которого обозначим через Ze (под Z будем подразумевать номер элемента после вылета α - частица, Z = Z' — 2, если Z' есть номер элемента до радиоактивного распада).
Большая прочность α - частицы позволяет предполагать, что она существует в ядре в виде самостоятельного объекта, являясь одним из простых образований, из которых строится атомное ядро. Ясно, что α - частицы может длительно находиться в атомном ядре лишь в том случае, если область вблизи атомного ядра является минимумом потенциальной энергии α - частицы. Кулоновская потенциальная энергия α - частицы, равная 2Ze2/r, где r — расстояние от ядра до частицы, по мере приближения к ядру, как это изображено на рис. 5.1 пунктирной кривой, все время возрастает монотонно. Поэтому минимум энергии вблизи ядра может получиться лишь в том случае, если на близких расстояниях на α - частицы действуют какие-то иные силы, помимо электрических. Такими силами являются ядерные силы, действующие между нуклонами. Эти силы весьма велики и действуют лишь на очень малых расстояниях. Именно этими силами и обусловливается смена кулоновского отталкивания на резкое притяжение вблизи ядра, изображенное на рис. 5. 1 сплошной кривой. Такое поведение потенциала называют образованием потенциальной ямы или, кратера. При наличии таких сил α - частицы, находящаяся в области r < r0, т. е. в поле сил притяжения, будет длительно удерживаться внутри ядра.
Рис. 5. 1. Кривая потенциальной энергии α – частицы в функции расстояния от ядра (r, Um, r'). Та же кривая схематизирована (r, Um, r0) (резкое падение после r0).
Как же происходит α - распад? Долгое время это оставалось загадкой. Еще Кельвин предполагал, что частицы, испускаемые радиоактивным элементом, как бы кипят внутри потенциального кратера. Время от времени одна из частиц получает избыток - энергии над средней, преодолевает барьер и, вылетев за него, ускоряется отталкивательным полем, приобретая большую энергию.
Однако эта наглядная картина, как было показано Резерфордом, противоречит опыту. Резерфорд бомбардировал атомы радиоактивного урана α -частицами тория С'. Энергия α -частиц тория С' равна 13 · 10 -6 эрг. Такие частицы, преодолевая кулоновское отталкивание, могут весьма близко подойти к ядру. Оценим расстояния наибольшего сближения r1. Очевидно, что r1 есть то расстояние, при котором потенциальная энергия частицы 2Z'e2/r1 будет равна исходной кинетической, т.е. 2Z'e2/r1 = 13· 10 -6 эрг, : Z' есть номер урана и равен 92 Поэтому мы находим, что r1 = 3-10-12см.
Наблюдение показывает, что рассеяние таких частиц строго такое, каким оно должно быть при действии на α - частицы кулоновского поля. Это означает, что ядерные силы начинают действовать на α - частицы расстояниях меньших, нежели 3 · 10 -12 см. Поэтому α -частицы, заключенные в ядре, находятся внутри области, радиус которой меньше 3 • 10-12 см.
С другой стороны, уран сам является радиоактивным элементом и испускает α -частицы. Измерение энергии этих частиц показывает, что она равна 6,6 · 10-6 эрг.
Эти α -частицы вылетают из ядра, т. е. с расстояний, меньших 3 · 1О-12 см. Тогда, ускоряясь в кулоновском поле, они должны были бы приобрести энергию, равную высоте потенциального барьера (см. рис. 5. 1) и во всяком случае большую, нежели ,13 · 10 -6 эрг. Получается же так, как если бы они вылетали с расстояния r = 6 · 10 -12 см. Таким образом, опыт приводил с точки зрения классической физики к парадоксальному положению: нужно было предположить, что кулоновское электрическое поле ядра действует на падающие извне α - частицы, но не действует на вылетающие на ядра, либо считать, что закон сохранения энергии не выполняется при радиоактивном распаде.
Решение этого парадокса вытекает из квантовой механики, приводящей к возможности туннельного эффекта через потенциальный барьер, разделяющий область притяжения (r < r0) от области отталкивания (r > г0).
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11