Тунельные и барьерные эффекты
Если энергия частицы Е меньше высоты барьера Um , то по классической механике имеет место полное отражение D = 0, R=1. При этом частицы совсем не проникают внутрь барьера. В оптике такой случай отвечает полному внутреннему отражению. Согласно геометрической оптике лучи света не проникают во вторую среду.
Более тонкое рассмотрение на основе волновой оптики показывает, что в действительности световое поле при полном отражении все же проникает в среду, от которой происходит отражение и если эта среда представляет собой очень тонкую пластинку, то свет частично проходит через нее. Квантовая механика в случае Е < Um (случай отражения) приводит к выводу, аналогичному выводу волновой оптики. Действительно, если E < Um, то показатель преломления пт является, чисто пт мнимой величиной (см. 4). Поэтому мы положим
(20)
Внося это выражение для пт в (14), вычислим теперь |а|2. Тогда, считая
получаем
(21)
Обозначая первый дробный множитель через Do (он не очень отличается от 1) и имея в виду значение k6, получаем
(22)
Таким образом, при E<.Um, в противоположность выводам классической механики, частицы проходят через барьер.
Явление прохождения через потенциальный барьер получило образное название туннельного эффекта.
Очевидно, что туннельный эффект будет иметь заметное значение лишь в тех случаях, когда D не слишком мал, т. е. когда
(23)
Нетрудно видеть, что с туннельным эффектом мы можем встретиться лишь в области микроскопических явлений. Так, например, для Um — E ~ 10-11 эрг (около десяти электрон-вольт), μ ~ 10-11 (масса электрона) и l ~ 10-11 cм, из (22) получим D ~ e-1. Но если мы возьмем, например, l=1 см, то из той же формулы получим,
. Увеличение массы частицы и превышение Um над Е еще более уменьшат D. Подобным же образом можно показать, что рассмотренное выше отражение исчезает с ростом энергии частицы — квантовая механика переходит в классическую.
Формулу (22) для коэффициента прозрачности D, выведенную нами для прямоугольного барьера, мы можем обобщить и на случай барьера произвольной формы. Произведем сейчас это обобщение простым путем.
Пусть имеем потенциальный барьер U(x), изображенный на рис. 1, Представим его приближенно в виде совокупности прямоугольных барьеров с шириной dx и высотой U (х). Эти барьеры на рисунке заштрихованы. Частица, имеющая энергию Е, вступает в барьер в точке х = х1 и покидает его в точке х = х2. Согласно (22) коэффициент прозрачности для одного из этих элементарных барьеров равен
(потенциальная энергия U (х) должна быть достаточно плавной, чтобы dx можно было взять достаточно большим). Коэффициент прозрачности для всего барьера должен равняться произведению коэффициентов прозрачности для всех элементарных барьеров. Тогда показатели в формуле для D' сложатся, и мы получим
(24)
§ 2. Кажущаяся парадоксальность «туннельного эффекта»
Прохождение частиц через потенциальные барьеры представляется на первый взгляд парадоксальным. Эту парадоксальность усматривают в том, что частица, находящаяся внутри потенциального барьера при полной энергии Е, меньшей высоты барьера Um, должна иметь отрицательную кинетическую энергию 
, и полная энергия, как это имеет место в классической механике, является суммой энергий кинетической и потенциальной:
В области, где, U (х) >Е, 
это бессмысленно, так как импульс р есть действительная величина. Как раз эти области, как мы знаем из классической механики недоступны для частицы. Между тем, согласно квантовой механике, частица может быть обнаружена и в этой «запретной» области. Таким образом, получается, будто квантовая механика приводит к выводу, что кинетическая энергия частицы может быть отрицательной, а импульс частицы мнимым. Этот вывод и называют парадоксом «туннельного эффекта».
На самом деле здесь нет никакого парадокса, а сам вывод неверен. Дело в том, что, поскольку туннельный эффект есть явление квантовое (при ħ → 0 коэффициент прозрачности D (24) стремится к нулю), постольку он может обсуждаться лишь в рамках квантовой механики. Полную же энергию частицы можно рассматривать как сумму кинетической и потенциальной энергий только на основе классической механики. Формула 
предполагает, что одновременно знаем величину как кинетической энергии Т, так и потенциальной U{х). Иными словами, мы приписываем одновременно определенное значение координате частицы х и ее импульсу р, что противоречит квантовой механике. Деление полной энергии на потенциальную и кинетическую в квантовой механике лишено смысла, а вместе с тем несостоятелен и парадокс, основанный на возможности представить полную энергию Е как сумму кинетической энергии (функция импульса) и потенциальной энергии (функция координат).
Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера. I
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<.Um; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе 
так что уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11