Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле
(73.6)
(73.7)
Из представления функций в форме (73.4) легко видеть, что все интегралы (73.7), за исключением двух, именно,
(73.8) в силу нечетности подыинтегральной функции относительно z, равны нулю. Интеграл же (73.8) легко вычисляется в сферических координатах. На основании (73.3) и (73.4) имеем Имеем Вводя переменную = r/a, получаем окончательно
(73.8') Напишем теперь систему уравнений (73.6) в явном виде. на основании сказанного о матричных элементах W , получаем
(73.6') Определитель этой системы (E)должен равняться нулю
(73.9) Отсюда находим корни E , E , E , E , E , которые равны энергии возмущенных уровней
(73.10) Таким образом, вырождение снято только частично четверной уровень расщепляется лишь на три разных[4]. Картина этого расщепления приведена на рис. 54.
В результате вместо одной спектральной линии, отвечающей переходу E E (переход изображен на рисунке стрелкой), мы получим три линии, отвечающие переходам:
Это и есть явление расщепления спектральных линий в электрическом поле. (Заметим, что ради простоты мы рассчитали расщепление первой линии ультрафиолетовой серии Лаймана, на самом деле Штарк изучал расщепление серии Бальмера (видимый свет).
Из (73.10) и (73.8') следует, что разница E в уровнях энергии E и E равна , т.е. E , если дано в в/см. Расщепление маленькое, даже для . в/см, эв, а разность эв.
Вычислим теперь волновые функции j в нулевом приближении, относящиеся к уровням E , E , E и E . Для этого нужно найти амплитуды c из уравнений (73.6'). Подставляя в (73.6') E = E = E = E , находим, что c и c = 0, а c = c = 0. Следовательно, для несмещенных уровней наиболее общее состояния описывается функцией
(73.11) c и c произвольны (вырождение не снято). Подставляя в (73.6') E = E = E + W , получаем c = c = 0, c = c . Поэтому уровню E отвечает волновая функция
(73.12)
Подобным же путем вычисляем для E = E : c = c = 0 и c = ¾ c , и волновая функция имеет вид
(73.12') (Множитель взят из соображений нормировки j и j к единице). Таким образом, при наличии поля волновые функции стационарных состоянии[5] будут j , j и j = j , j = j . Мы представляет читателю самому убедиться, что, как и должно быть по общей теории, матрица возмущения W в новом представлении
(73.13) будет диагональной матрицей
(73.14) Отсюда следует, что полученную картину расщепления уровней мы можем пояснить еще и так: уровни E и E не смещаются потому, что в состояниях j и j электрический момент равен нулю. Смещения же уровней E и E определяются тем, что в состояниях j и j момент равен 3ae и ¾3ae соответственно, т.е. в первом случае он ориентирован против поля, а во втором случае ¾ по полю.
[1] В случае электрического поля можно достигнуть полей, сравнимых с внутриавтомными.
[2] Название "вековое уравнение" заимствовано из астрономии.
[3] Этот результат получается сразу, если раскрыть определитель (68.18) по обычному правилу раскрытия: произведение элементов на миноры.
[4] Без поля мы имели гамильтониан, обладающий сферической симметрией. При наличии поля еще остается симметрия вращения вокруг направления поля.
[5] Точнее "почти стационарных".
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5