Расщепление энергетических уровней атома водорода в электрическом поле
Такую матрицу называют ступенчатой. Ее определитель (E) разбивается на произведение определителей меньшего ранга, именно [3],
Обозначая входящие сюда определители через (E), получим
(68.20) Уравнение (68.20) будет удовлетворено, если (E) = 0, или (E) = 0, или вообще (E) = 0. Корни этих уравнений и дают в первом приближении энергии первого, второго и вообще k-го уровня. Уравнение
(68.12) тождественно с уравнением (68.11), установленным другим путем.
В #41 мы объясняли, что задача нахождения собственных значений оператора может рассматриваться как задача о приведении к диагональному виду его матрицы. Из изложенного видно, что принимаемое в теории возмущения первое приближение заключается в том, что мы пренебрегаем матричными элементами, относящимися к разным уровням, и, таким образом, задачу о приведении к диагональному виду бесконечной матрицы сводим к приведению к диагональному виду конечных матриц (отдельных матриц в ступенчатой матрице (68.18)).
Расщепление уровней в случае двукратного вырождения
Рассмотрим частный случай снятия вырождения возмущением, когда интересующий нас уровень невозмущенной системы двукратно вырожден. Пусть собственному значению E оператора H принадлежат две функции (f = 2): j и j . Любые две функции j и j, получающиеся из j и j и путем ортогонального преобразования, будут также собственными функциями оператора H , принадлежащими уровню E . Это преобразование мы можем записать в виде (см. (68.1))
(69.1)
(69.1') Чтобы удовлетворить условию ортогональности (68.2), положим
(69.2) причем q и b здесь два произвольных угла. Таким образом,
(69.3) представляют собой наиболее общие выражения для волновых функций, принадлежащих двукратно вырожденному уровню E .
Ортогональность и нормировку этих функций легко проверить непосредственно и убедиться также, коэффициенты a (69.2) удовлетворяют условию ортогональности (68.2). При b = q = 0 из (69.3) получаются исходные функции j и j . Пусть теперь наложено некоторое возмущение W. Нулевое приближение будет выражаться функциями, являющимися функциями невозмущенной системы, т.е. функциями (69.1), но с вполне определенными коэффициентами; иначе говоря, значения углов b и q будут зависеть от вида возмущения W. Для определения этих углов будем искать прямо коэффициенты c и c в суперпозиции
(69.4) Согласно изложенной выше теории эти коэффициенты определяются из уравнения (68.10), которое в рассмотренном частном случае имеет вид
(69.5) где W , W , W , W ¾ матричные элементы энергии возмущения:
(69.6)
(69.6')
(69.6'') Вековое уравнение (68.11) имеет тогда вид
(69.7) где e ¾ поправка в энергии k-го уровня:
(69.8)
Раскрывая определитель (69.7) и решая получающееся квадратное уравнение, мы найдем два корня
(69.9) Из уравнений (69.5) находим
(69.10) Полагая
(69.11) и подставляя в (69.10) первый корень (e , знак +), получим
(69.12) а для второго корня (e , знак ¾).
(69.12') Таким образом, получаются следующие решения (в "х"-представлении):
(69.13) и
(69.13') причем
(69.14)
(69.15) Весьма важным является частный случай, когда
(69.16) Для этого случая имеем
(69.17)
(69.17')
Преобразование (69.3) есть поворот. Мы можем получить прямую геометрическую аналогию, если будем считать b = 0 (это требует, чтобы W = W ). Тогда коэффициенты a действительны. Частные значения коэффициентов a ¾ коэффициенты с ¾ также действительны. Вместо (69.4) мы можем написать, полагая c = , c = : (69.18) (индекс k мы будем держать в уме). Если потребовать, чтобы
(69.19) то средним значением энергии возмущения в состоянии (69.18) будет
(69.20) Согласно (69.6) получим
(69.21) Это уравнение можно рассматривать как уравнений кривой второго порядка на плоскости ( , ). Таким образом, среднее значение W есть квадратичная форма от амплитуд ( , ), представляющих состояние .
Введем теперь вместо системы координат новые координаты , отличающиеся от первых поворотом на угол q
(69.22) Подставляя в (69.18), получим:
(69.23) Относительно функций j и j матрица W должна быть диагональной. Действительно
(69.24) Поэтому среднее значение в состоянии представится теперь в ином виде:
(69.25) т.е. в новых переменных , средняя энергия является кривой второго порядка, отнесенной к главным осям (рис. 52).
Таким образом, задача о приведении матрицы W к диагональному виду совпадает с геометрической задачей о приведении к каноническому виду кривой второго порядка (отнесение к главным осям). В более общем случае и комплексны, поэтому полного совпадения задач нет, но аналогия сохраняется, если и и в этом случае рассматривать как координаты точки.
Расщепление спектральных линий атома водорода в электрическом поле
Вывод общей формулы для расщепления уровней водорода в электрическом поле читатель найдет во многих курсах. Мы ограничимся разбором примера, на котором легко выяснить всю сущность дела. Именно, мы рассмотрим расщепление второго квантового уровня атома водорода (n=2) (первый уровень не вырожден и потому не расщепляется). Таким образом, мы берем наиболее простой случай.
Указанному квантовому уровню принадлежат четыре состояния, характеризуемых следующими волновыми функциями:
(73.1) Согласно (25.16)
(73.2)
Далее, из (50.1) получаем радиальные функции: R
(73.3) где a ¾ радиус орбиты Бора, а и ¾ нормирующие множители. Пользуясь тем, что, x = r sin q cos j, y = r sin q sin j, z = r cosq, мы можем написать функции (73.1) в виде
(73.4) Наиболее общим состоянием, принадлежащим уровню E , будет
(73.5) Чтобы определить приближенно квантовые уровни и волновые функции при наличии внешнего электрического поля согласно теории возмущений, нужно решить уравнения (68.10), которые в нашем случае имеют вид
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5