Волны в упругой среде
или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)
(2.12)
(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)—одна из основных формул акустики.
Наряду со смещением 
нас интересуют скорость v =
, с которой
.движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация 
инапряжение 
. Дифференцируя (2.11)по t и но x,получаем:
v=
uf’(xut) (2.13a)
=f'(x ut), (2.13б)
=Ef’ (x ut). (2.13в)
Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.
На рис. 5 показан пример «моментальных снимков», относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).
Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что
(2.14)
где
(2.15)
есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины 
связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).
Упругие волны в газах и жидкостях
Волновое уравнение.
Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем (как и в 1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.
Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню ( 1). Мы придем, таким образом, к уравнению
(2.16)
где р = — есть давление в газе или жидкости. Здесь 
— значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, не зависят ни от х, ни от t.
Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).
Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности , и следовательно, давление также.
При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.
В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.
Есть однозначная функция плотности:
p=f(p). (2.17)
Введем обозначения
, (2.18) где 
и 
— соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.
Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.
получаем:
(2.19)
Найдем теперь связь между и деформацией = 
. Мы сначала выразим через , а затем через :