Общая гидродинамика
Для количественных соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций примем классический закон Гука о пропорциональности напряжений и деформаций, только в несколько обобщённом виде. Именно, в отличие от теории упругости, будем выражать зависимость напряжений не от деформаций, а от скоростей деформаций.
Начнём с составления зависимостей между главными направлениями, главными скоростями удлинений и другими главными элементами тензора скоростей деформаций, уже затем напишем зависимости между любыми компонентами обоих тензоров.
Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения:
1. При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение “
”.
2. При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть “
”.
3. Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое “
”. Здесь l и m две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.
При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:
(24)
Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:
(25)
или, замечая, что: 
и 
найдём: 
откуда следует:
(26)
Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту m, и равенство (24) принимает вид:
(27)
Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения 
из (27) в равенство (21), тогда получим:
(28)
Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:
(29)
Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:
(30)
Так как при 
слагаемые, заключённые в скобку 
всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей.
Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:
Можно переписать (30) в форме:
или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:
(31)
Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:
(32)
или в тензорном виде:
(33)
Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось.
Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем:
а) касательные напряжения (
):
(34)
б) нормальные напряжения (
):
(35)
Коэффициент m, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости.
4. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости.
Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо 
их выражения по (34) и (35).
В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения 
, 
, 
из (34) и (35), получим:
или перестановкой членов:
Отсюда сразу следует:
Аналогично получим, что вообще:
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5