Хаос необратимость времени и брюссельская
Это уравнение движения детерминистично: по заданному xn однозначно вычисляется xn+1. При этом, однако, сдвиг Бернулли не является обратимым отображением. Симметрия во времени нарушена ещё на уровне уравнения движения. Этим сдвиг Бернулли отличается от динамических систем с обратимыми уравнениями движения.
Сдвиг Бернулли представляет собой пример детерминистического хаоса. Можно представить примеры последовательностей, начинающихся с какого-нибудь произвольного числа, например:
{0.13; 0.26; 0.52; 0.04; 0.08; 0.16; 0.32; 0.64; 0.28 . }
и
{0.14; 0.28; 0.56; 0.12; 0.24; 0.48; 0.96; 0.92; 0.84 . } –
как видим, незначительное отличие в начальных условиях уже на 4-м шаге порождает существенное различие траекторий, а в дальнейшем их поведение совершенно различно.
Легко показать, что со временем разойдутся траектории любых двух сколь угодно близких точек. Запишем число x в виде двоичной дроби:
x=0. u–1u–2u–3 . u–k . =u–1/2 + u–2/22 + u–3/23 + . + u–k/2k + .
Описанное выше отображение соответствует сдвигу u–k'=u–(k+1) , откуда становится понятным название "сдвиг Бернулли". Видно, что нулевой разряд числа при этом теряется, что соответствует не-взаимооднозначности отображения.
Описание эволюции динамической системы типа сдвига Бернулли в терминах траектории неадекватно, так как для адекватности траектория должна оставаться "почти одной и той же" при незначительном изменении начальных условий.
В данном же случае имеет смысл обратиться к статистическому описанию, введя плотность вероятности r (x) пребывания системы в каждой точке x интервала (0,1) . Отображение представляет собой оператор U, действующий на эту функцию:
r n+1=Ur n(x) = (r n(x/2) +r n((x+1) /2) ) / 2.
Оказывается, что при многократном применении оператора отображения к произвольному распределению плотности вероятности оно стремится к константе:
r n=Unr 0(x) ® r µ (x) =const.
В дальнейшем мы ещё вернемся к отображению Бернулли и свойствам его оператора, а пока рассмотрим другую простую динамическую систему, теперь уже двумерную, называемую преобразованием пекаря:
Правило, определяющее преобразование пекаря, очень просто. Сначала квадрат со стороной, равной 1, сплющивается в прямоугольник длиной 2 и высотой 1/2, затем правая половина полученного прямоугольника накладывается на левую, образуя новый квадрат. Процесс в чём-то аналогичен размешиванию теста, отсюда и название.
В отличие от сдвига Бернулли преобразование пекаря обратимо во времени. Однако оно точно так же порождает хаотическое движение, связанное с неустойчивостью по начальным условиям.
Преобразование пекаря сводится к сдвигу в двусторонней двоичной последовательности:
x0y = u–k . u–3u-2u–1u0u1u2 . uk , uk' = u–(k+1) .
Видно, что при этом никакие двоичные разряды не теряются, что и соответствует обратимости преобразования пекаря во времени.
Аналогично сдвигу Бернулли, преобразование пекаря порождает динамический хаос, и описание движения точки в терминах траекторий также неадекватно.
В случае преобразования пекаря описание эволюции системы в статистических терминах даже более "физически осмысленно", чем для сдвига Бернулли. Дело в том, что теперь, в двумерном случае, можно рассматривать координатную плоскость как фазовое пространство некоторой динамической системы с одной степенью свободы: ось x соответствует координате, а ось y – импульсу. Аналогия с "физическими" динамическими системами усиливается ещё и тем, что выполняется теорема Лиувилля: сохраняется объём в фазовом пространстве. Другими словами, взяв ансамбль точек внутри некоторой области и проделав произвольное количество преобразований пекаря, мы обнаружим тоже самое количество точек внутри некоторой другой области (форма её при этом очень сильно изменится и станет крайне замысловатой) . Объём этой области (в нашем двумерном случае ему соответствует площадь) останется неизменным.
Несмотря на обратимость преобразования пекаря во времени, эволюция при t ® +µ и при t ® –µ оказывается различной [1, c. 114].
Кроме описанных выше, существует ещё много сравнительно простых моделей динамического хаоса. Однако мы воздержимся от их подробного рассмотрения, и перейдём теперь к причинам, лежащим в основе непредсказуемого поведения физических систем.
1.2 Классический хаос: неинтегрируемые системы Пуанкаре Чем простое отличается от сложного? Традиционный ответ содержит ссылку на иерархию. На одном конце шкалы мы находим такие объекты, как маятник, подчиняющийся простым детерминистским законам. На другом конце шкалы находятся люди и их сообщества. Между этими полюсами можно мысленно вписать целую иерархию "комплексификации" – возникновения сложного из простого. В действительности же дело обстоит даже более тонко: простое и сложное могут сосуществовать вместе, не будучи связаны между собой иерархически.
Что касается человеческих сообществ, теория их поведения крайне трудно поддаётся хоть какой-нибудь математизации и заслуживает отдельного рассмотрения, вне рамок настоящей работы. Пример же хаотического поведения простейших физических систем типа маятника будет рассмотрен ниже.
При исследовании того, как простое относится к сложному, обычно широко используется понятие аттрактора, то есть конечного состояния или хода эволюции диссипативной системы. Смысл этого понятия был глубоко преобразован современной физикой и математикой. В прошлом считалось, что все системы, эволюция которых связана с существованием аттрактора, одинаковы. Ныне понятие аттрактора связывают с разнообразием диссипативных систем.
Идеальный маятник без трения не имеет аттрактора и колеблется бесконечно. С другой стороны, движение реального маятника – диссипативной системы, движение которой включает трение, – постепенно останавливается в положении равновесия. Это положение является аттрактором. Аналогичным образом, аттрактором является и состояние термодинамического равновесия: ансамбль из миллиардов и миллиардов частиц, образующих изолированную систему, эволюционирует к состоянию равновесия, описание которого зависит лишь от немногих параметров, таких как температура и давление.
Перейти на страницу: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12