Волновая оптика
Решение. Применим к решению задачи дифференциальные уравнения движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает своё среднее положение (ξ=0).
Направим ось x вверх вдоль наклонной плоскости (в сторону движения груза D после снятия груза Е). Движение груза D определяется по следующему дифференциальному уравнению: mD x=∑Xi,
где ∑Xi – сумма проекций на ось х сил, действующих на груз D (рис. а): GD – веса, N – нормальной реакции наклонной плоскости, Р – силы упругости пружины.
 | |
|
Таким образом, mD x = -GD sin α – P.
Здесь P = c(x – fст D – ξ), где fст D – статическая деформация пружины под действием груза D; ξ – перемещение точки прикрепления нижнего конца пружины, происходящее по закону ξ =d sin pt (d =0,02 м, p=10 рад/с).
Статическая деформация пружины fст D найдём из уравнения, соответствующего состоянию покоя груза D на наклонной плоскости (рис. б):
∑Xi =0;
-GD sin α +P0 =0,
т. е. –GD sin α + cfст D =0,
откуда fст D =GD sin α/c.
Дифференциальное уравнение движения груза D имеет вид
mD x = -GD sin α – c(x – fст D – ξ),
или после преобразования mD x + cx = cd sin pt.
Разделив все члены уравнения на mD и введя обозначения
c/mD = k2, cd/mD = h,
приведём дифференциальное уравнение к следующему виду:
x + k2x = h sin pt.
Решение этого неоднородного уравнения складывается из общего решения х*, соответствующего однородного уравнения и частного решения х** данного неоднородного уравнения:
x = x*+ x**.
Общее решение однородного уравнения имеет вид
x* = C1 cos kt +C2 sin kt.
Частное решение неоднородного уравнения:
x** = [ h /(k2 – p2)] sin pt.
Общий интеграл
x = C1 cos kt +C2 sin kt + [ h /(k2 – p2)] sin pt.
Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдём, кроме того, уравнение для х
x = -C1 k sin kt +C2 k cos kt + [ hp/(k2 – p2)] cos pt
и используем начальные условия задачи.
Рассматриваемое движение начинается в момент (t=0), когда деформация пружины является статической деформацией под действием грузов D и E. При принятом положении начала отсчёта О начальная координата груза D равна x0 = -fст E, причём fст E = GE sin α/c – статическая деформация пружины под действием груза Е.
Таким образом, при t=0
x0 = -fст E, x0 = 0.
Составим уравнение x = x(t) и x = x(t) для t=0:
x0 = C1; x0 = C2 k + hp/( k2 – p2),
откуда
C1 = -fст E, C2 = -hp/[ k( k2 – p2)].
Уравнение движения груза D имеет следующий вид:
x = -fст E cos kt – hp/[ k( k2 – p2)] sin kt + h/( k2 – p2) sin pt.
Найдём числовое значение входящих в уравнение величин:
k =√с/mD = √6 ∙100 /0,25 = 49 c-1;
fст E = GE sin α/c = 3 ∙9,81∙0,5 /6 ∙100 = 0,0245 м.
h/( k2 – p2) = cd/mD( k2 – p2) = 600 ∙0,02/0,25(2400 – 100) = 0,021 м;
hp/ k( k2 – p2) = 0,021 ∙10 /49 = 0,0043 м.
Следовательно, уравнение движения груза D
x = -2,45 cos 49t – 0,43 sin 49t +2,1 sin 10t (см)